Análise Combinatória - Fatorial

Análise Combinatória - Fatorial Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!. Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial. 5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2. Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1. Abaixo, no final da página, temos uma tabela com os 28 primeiros fatoriais. Repare que apesar do número 27 ser relativamente baixo, o seu fatorial possui 29 dígitos! Escrevendo um fatorial a partir de um outro fatorial menor Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!: 5! = 5 . 4! 5! = 5 . 4 . 3! 5! = 5 . 4 . 3 . 2! Para um fatorial genérico temos: n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1! Observe atentamente os exemplos seguintes: (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)! (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)! (n + 1)! = (n + 1) . n! Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais clara destas sentenças: 9! = 9 . 8! 9! = 9 . 8 . 7! 7! = 7 . 6! Estes conceitos são utilizados em muitos dos problemas envolvendo fatoriais. Simplificação envolvendo fatoriais Observe a fração abaixo: Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. Então podemos escrever a fração da seguinte forma: Agora podemos simplificar o 3! do numerador com o 3! do denominador. Temos então: Gerando uma sequência de números compostos consecutivos a partir de um fatorial Na página onde falamos sobre múltiplos de um número natural foi explicado que se a um número que é múltiplo de n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, iremos obter como resultado um número que também é múltiplo de n. 3! + 2 = 3 . 2 . 1 + 2 = 6 + 2 = 8 3! + 3 = 3 . 2 . 1 + 3 = 6 + 3 = 9 Repare que 8, resultado da soma de 6 com 2, é divisível por 2, assim como 6. O mesmo ocorrendo com 9, resultado da soma de 6 com 3, que também é divisível por 3. Como 8 e 9 são múltiplos de algum fator de 3!, temos que eles formam uma sequência de dois números compostos (não primos) consecutivos a partir do fatorial de três. 3! possui três fatores, mas só podemos considerar os fatores maiores que 1, por isto só pudemos somar dois e três. Note neste exemplo, que se somássemos 3! + 1, iríamos obter 7, que não é um número composto. Sete é um número primo. Exemplos de problemas envolvendo fatoriais Qual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)! = 20 . n! seja verdadeira? O primeiro passo na resolução deste problema consiste em escrevermos (n + 2)! em função de n!, em busca de uma equação que não mais contenha fatoriais: Conforme explicado na página onde tratamos sobre o cálculo rápido das raízes de equações do segundo grau, podemos resolver rapidamente esta equação respondendo à seguinte pergunta: Quais são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo produto é igual -18? Rapidamente concluímos que as raízes procuradas são -6 e 3, mas como não existe fatorial de números negativos, já que eles não pertencem ao conjunto dos números naturais, ficamos apenas com a raiz igual a 3. Portanto: O valor numérico de n para que a equação seja verdadeira é igual a 3. -------------------------------------------------------------------------------- A partir de fatoriais, obtenha uma sequência com sete números compostos consecutivos. Como eu devo obter 7 números compostos consecutivos na sequência, eu preciso partir ao menos de 8!: 8! = 8 . 7 . 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320 Como 8! é igual a 40320, o primeiro número da sequência será 40320 + 2 = 40322 e o último será 40320 + 8 = 40328. Logo: A sequência 40322, 40323, 40324, 40325, 40326, 40327 e 40328 satisfaz as condições do enunciado.