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ORG. PROF. ÉDER FERNANDES

domingo, 3 de março de 2013

REGRAS DE DIVISIBILIDADES



Sobre a divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Alguns critérios de divisibilidade

Ø  DIVISIBILIDADE POR 2.

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: 5634 é divisível por 2, mas 135 não é divisível por 2.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 3.

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18, 3 576 são divisíveis por 3 pois, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 4.

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Ou o número se termina em 00.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 5.

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75, mas 107 não é divisível por 5 pois o último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 6.

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3. Ou se é divisível por 2 ou por 3 três.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 7.

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo 1: 165928 é divisível por 7 pois:

16592
Número sem o último algarismo
-16
Dobro de 8 (último algarismo)
16576
Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657
Número sem o último algarismo
-12
Dobro de 6 (último algarismo)
1645
Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164
Número sem o último algarismo
-10
Dobro de 5 (último algarismo)
154
Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15
Número sem o último algarismo
-8
Dobro de 4 (último algarismo)
7
Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo 2: 4261 não é divisível por 7, pois:

426
Número sem o último algarismo
-2
Dobro do último algarismo
424
Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42
Número sem o último algarismo
-8
Dobro do último algarismo
34
Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 8.

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8, ou se o número termina em 000.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 9.

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 10.

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Ø  DIVISIBILIDADE POR 11.

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si – Sp = 0, então o número é divisível por 11.

Exemplo 1: 1353 é divisível por 11, pois:

Número
1
3
5
3
Ordem
ímpar
par
ímpar
par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp = 3 + 3 = 6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo 2: 29 458 é divisível por 11, pois:

Número
2
9
4
5
8
Ordem
ímpar
par
ímpar
par
ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo 3: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número
2
5
4
3
Ordem
ímpar
par
ímpar
par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo 4: 65208 é divisível por 11, pois:

Número
6
5
2
0
8
Ordem
ímpar
par
ímpar
par
ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Ø  DIVISIBILIDADE POR 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.

Exemplo: 1200 é divisível por 12 (2+1 e final 00)

870 não é divisível por 12 (8+7 e mas final 70)

8936 não é divisível por 12 (final 36 e mas 8+9+3+6=26)

Ø  DIVISIBILIDADE POR 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo 1: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656
Número sem o último algarismo
+8
Quatro vezes o último algarismo
1664
Soma

Repete-se o processo com este último número.

166
Número sem o último algarismo
+16
Quatro vezes o último algarismo
182
Soma

Repete-se o processo com este último número.

18
Número sem o último algarismo
+8
Quatro vezes o último algarismo
26
Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

Exemplo: 9105; 9831; 680

Ø  DIVISIBILIDADE POR 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859
Número sem o último algarismo
- 40
Cinco vezes o último algarismo
1819
Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181
Número sem o último algarismo
- 45
Cinco vezes o último algarismo
136
Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13
Número sem o último algarismo
- 30
Cinco vezes o último algarismo
- 17
Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592
Número sem o último algarismo
+16
Dobro do último algarismo
16608
Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660
Número sem o último algarismo
+16
Dobro do último algarismo
1676
Soma

Repete-se o processo com este último número.

167
Número sem o último algarismo
+12
Dobro do último algarismo
179
Soma

Repete-se o processo com este último número.

17
Número sem o último algarismo
+18
Dobro do último algarismo
35
Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427
Número sem o último algarismo
+10
Dobro do último algarismo
437
Soma

Repete-se o processo com este último número.

43
Número sem o último algarismo
+14
Dobro do último algarismo
57
Soma

Repete-se o processo com este último número.

5
Número sem o último algarismo
+14
Dobro do último algarismo
19
Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590
Número sem o último algarismo
+63
Dobro do último algarismo
18653
Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865
Número sem o último algarismo
+21
Dobro do último algarismo
1886
Soma

Repete-se o processo com este último número.

188
Número sem o último algarismo
+42
Dobro do último algarismo
230
Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

859
Número sem o último algarismo
-24
Dobro do último algarismo
835
Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83
Número sem o último algarismo
-15
Dobro do último algarismo
68
Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6
Número sem o último algarismo
-24
Dobro do último algarismo
-18
Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859
Número sem o último algarismo
+24
Triplo do último algarismo
883
Soma

Repete-se o processo com este último número.

88
Número sem o último algarismo
+9
Triplo do último algarismo
97
Soma

Repete-se o processo com este último número.

9
Número sem o último algarismo
+21
Triplo do último algarismo
30
Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Ø  DIVISIBILIDADE POR 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

859
Número sem o último algarismo
+40
Cinco vezes o último algarismo
899
Soma

Repete-se o processo com este último número.

89
Número sem o último algarismo
+45
Cinco vezes o último algarismo
134
Soma

Repete-se o processo com este último número.

13
Número sem o último algarismo
+20
Cinco vezes o último algarismo
33
Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

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