Divisores de um Número Natural
Divisores de um número natural são todos os
números naturais que ao dividirem tal número, resultarão em uma divisão exata,
isto é, com resto igual a zero.
O conjunto dos divisores de um número é um
conjunto finito, mas como determinar quantos divisores um número natural
possui?
Tanto para a identificação da quantidade de
divisores de um número, assim como para que possamos encontrar tais divisores,
iremos recorrer à fatoração
ou decomposição em fatores primos.
Tomemos como exemplo o número 200 para aprendermos a identificar quantos e quais são os
seus divisores.
Fatorando
Tópico
relacionado Decomposição
de um Número Natural em Fatores Primos
Primeiramente iremos decompor o número 200 em fatores primos:
Temos então que 200
fatorado é igual a 23 . 52.
Quantidade de Divisores de um Número Natural
O número 200
decomposto possui dois fatores primos. Um com expoente 3 (23)
e outro com expoente 2 (52). A multiplicação
destes expoentes adicionados em uma unidade cada um deles, irá nos fornecer a
informação procurada:
(3 +
1) . (2 + 1) = 12
Portanto o número natural 200
possui um total de 12 divisores naturais.
Conjunto dos Divisores de um Número Natural
Mas quais são estes 12
divisores naturais do número 200? Analisemos a figura
abaixo:
Notamos que à direita da fatoração do número 200, executada mais acima no início deste tópico, foi traçada
uma outra linha vertical e colocado o número 1 no topo.
Ele foi considerado, pois todos os números naturais são divisíveis por ele.
Temos então que { 1 }
é o primeiro subconjunto obtido dos divisores de 200.
A partir daí, todos os outros divisores serão
obtidos através da multiplicação do fator da linha em questão, por todos os
divisores das linhas acima, até então calculados, ou em outras palavras,
obtidos através da multiplicação do fator da linha em questão por todos os
elementos do atual subconjunto de divisores, mas há uma exceção: Quando o fator
da linha em questão for igual ao fator da linha anterior, ao invés de o
multiplicarmos por todos os divisores já encontrados, o multiplicamos apenas
pelos divisores encontrados na linha anterior, pois caso contrário iremos obter
vários divisores que já foram encontrados anteriormente. Se quisermos seguir a
regra geral, o único problema, além do desperdício de tempo, é que teremos que
eliminar as duplicidades, considerando cada divisor apenas uma vez.
Multiplicando-se o primeiro fator 2 por cada elemento do subconjunto atual (2 . 1 = 2),
obteremos o novo subconjunto { 1, 2 } que conta agora
com dois divisores.
Multiplicando-se o segundo fator 2 por cada elemento do subconjunto atual (2 . 1 = 2,
2 . 2 = 4), obteremos um novo subconjunto { 1, 2, 4 }, que conta agora com três divisores. Podemos
notar que o divisor 2 que já fazia parte do subconjunto
anterior foi considerado apenas uma vez.
Neste caso poderíamos ter calculado apenas o
produto (2 . 2 = 4), pois o fator 2 em questão é o mesmo fator da linha anterior, então o
multiplicamos apenas por 2, que é o único divisor
encontrado na linha anterior, evitando assim a perda de tempo em cálculos que
resultarão em valores já obtidos.
Como o terceiro fator 2
é novamente uma repetição do fator acima, vamos apenas multiplicar (2 . 4 = 8), obtendo o novo subconjunto { 1, 2, 4, 8 }, que conta agora com quatro divisores. Note
que se tivéssemos multiplicado por todos os divisores acima, encontraríamos 2 e 4 em duplicidade.
Multiplicando-se o primeiro fator 5 pelos elementos do subconjunto atual (5 . 1 = 5,
5 . 2 = 10, 5 . 4 = 20,
5 . 8 = 40), obteremos um novo subconjunto { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 }, que conta agora com oito
divisores.
Finalmente multiplicando-se o segundo fator 5 pelos elementos da linha acima, já que ele se repete, (5 . 5 = 25, 5 . 10 = 50,
5 . 20 = 100, 5 . 40 = 200),
obteremos um novo subconjunto { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40,
50, 100, 200 }, que conta agora com os doze divisores de 200 como já era de se esperar.
Portanto os doze divisores naturais de 200 são: 1, 2,
4, 5, 8,
10, 20, 25,
40, 50, 100
e 200.
Mínimo Múltiplo
Comum - MMC
Dados dois ou mais números naturais não
nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum (MMC) o menor dos seus
múltiplos que é comum a todos eles, com exceção do número zero, pois este é
menor dos números naturais e é múltiplo de todos eles.
Já que o conjunto dos números naturais é um
conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos.
Múltiplos de um Número Natural e o seu MMC
Tomemos por exemplo os números naturais 6,
8 e 12. Seus múltiplos são respectivamente:
{ 0, 6, 12, 18, 24,
30, ... } { 0,
8, 16, 24, 32, 40, ... } { 0, 12, 24,
36, 48, 60, ... }
Podemos notar que com exceção do número 0,
o número 24 é o menor dos múltiplos comum a todos eles. Temos então que:
MMC(6, 8, 12) = 24
Como descobrir o MMC de um conjunto de números?
Um prático método para se determinar o MMC de
um conjunto de números naturais é a decomposição em fatores primos.
Para que possamos fazer uma comparação, vamos
tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.
De maneira mais rápida temos
|
Da fatoração destes três números temos:
·
6
= 2 . 3
·
8
= 23
·
12
= 22 . 3
O MMC(6, 8, 12) é o produto dos
fatores comuns e não comuns, com os maiores expoentes.
O fator 2 é comum a todos eles, mas
tomemos o 23, pois é o que possui o maior expoente.
O fator 3 não é comum ao número 8,
mas independente disto também deve ser considerado e como nos dois casos onde
ele é múltiplo, o expoente é 1, iremos considerar somente o 3 mesmo.
Note que cada fator é considerado apenas uma
vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 6, quanto
para o números 12, mas o consideramos apenas uma vez.
Logo:
MMC(6, 8, 12) = 23 . 3 = 24
Propriedade do MMC e do MDC
Sejam a e b dois ou mais números naturais não nulos temos que MMC(a, b) . MDC(a, b) = a . b.
De maneira mais rápida temos
|
Exemplos de MMC
Qual
é o MMC(15, 25, 40)?
Fatorando os três números temos:
·
15
= 3 . 5
·
25
= 52
·
40
= 23 . 5
Para uma melhor identificação, os fatores
comuns e não comuns com os maiores expoentes foram marcados em vermelho.
MMC(15, 25, 40) = 23 . 3 . 52
= 600
Portanto:
O MMC(15, 25, 40) é igual 600
Qual
é o MMC(250, 225, 294, 245)?
Da Fatoração dos quatro números temos:
· 250 = 2 . 53 225
= 32 . 52 294 = 2 . 3 . 72 245
= 5 . 72
MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 32 .
53 . 72 = 110250
Logo:
O MMC(250, 225, 294, 245) é igual a 110250
Qual
é o MMC(27, 81)?
A decomposição dos dois números em fatores
primos nos dá:
·
27
= 33 81
= 34
MMC(27, 81) = 34 = 81 =>
Portanto:
O MMC(27, 81) é o próprio número 81.
Se
o MDC(27, 72) = 9, qual é o MMC(27, 72)?
Segundo a propriedade do MMC e do MDC
temos que :
Logo:
O
MMC(27, 72) é igual a 216.
Máximo Divisor Comum - MDC
Dados dois ou mais números naturais não
nulos, denomina-se máximo divisor comum (MDC) o maior número que
é divisor de todos eles.
Caso o número 1 seja o único divisor
comum a um conjunto de números naturais, dizemos que os números deste conjunto
são primos entre si.
Divisores de um Número Natural e o seu MDC
Analisemos os números naturais 108, 135
e 63. Seus divisores são respectivamente:
·
{
1, 3, 4, 9, 12, 27, 36,
108 } { 1, 3,
5, 9, 15, 27, 45, 135 } { 1, 3, 7, 9, 21, 63 }
De todos os divisores que cada um dos números
possui, o número 9 é o maior deles que é comum a todos os três.
Temos então que:
MDC(108, 135, 63) = 9
Como descobrir o MDC de um conjunto de números?
Um método prático para se determinar o MDC de
um grupo de números naturais é a fatoração.
Para podermos comparar o resultado obtido
pelo método acima e o obtido pela fatoração, vamos utilizar de novo os números 108,
135 e 63 como exemplo.
De maneira mais rápida temos
|
Da fatoração deles nós temos que:
·
108
= 33 . 4 135 = 33 . 5 63
= 32 . 7
O MDC(108, 135, 63) é o produto dos
fatores comuns
com os menores expoentes.
No caso apenas o fator 3 é comum a
todos eles, mas
tomemos o 32, pois é o que
possui o menor expoente.
Logo: MDC(108, 135, 63) = 32 =
9
Exemplos de MDC
Qual
é o MDC(15, 75, 105)?
Fatorando os três números temos:
·
15
= 3 . 5
·
75
= 3 . 52
·
105
= 3 . 5 . 7
Note que cada fator é considerado apenas uma
vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o número 15,
quanto para o número 75 e para o 105, mas o consideramos uma
única vez. De forma análoga agimos em relação ao fator 5.
MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15
Portanto:
O MDC(15, 75, 105) é igual 15
Qual
é o MDC(100, 150, 200, 250)?
Da Fatoração dos quatro números temos:
·
100
= 22 . 52
·
150
= 2 . 3 . 52
·
200
= 23 . 52
·
250
= 2 . 53
Os fatores 2 e 5 são comuns aos
quatros números. O menor expoente do 2 é 1 e do 5 é 2. Assim:
MDC(100, 150, 200, 250) = 2 . 52 =
50
Logo:
O MDC(100, 150, 200, 250) é igual a 50
Qual
é o MDC(25, 16)?
A decomposição dos dois números em fatores
primos nos dá:
·
25
= 52
·
16
= 24
Não há fatores comuns, já que 25 e 16
são primos entre si, então:
MDC(25, 16) = 1
Portanto:
O
MDC(25, 16) é o número 1.
BAIXAR EXERCÍCIO CLICK >>AQUI<<