ANÁLISE COMBINATÓRIA
01- PRINCIPIO
MULTIPLICATIVO
É a área da matemática que trata dos problemas de contagem, determina o
número de possibilidade de ocorrência.
02- FATORIAL
Representado por n!. um número natural maior que 1.
Obs: multiplicar em ordem decrescente.
Ex 01: 0! = 1
4! = 4x3x2x1 = 24
5! = 5x4x3x2x1 = 120
2.1 DIVISÃO DE FATORIAL n!
n!
03- PERMUTAÇÃO SIMPLES
É qualquer grupo ordenado de n elementos.
Pn = n!
Obs permutação circular usa Pn – 1 = ( n- 1)) !
Ex:
01 Permutando os 3 elementos
distintos de A { x , y , z } temos
P3 = 3!
= 3 x 2 x 1 = 6
Ou
3
x 2 x 1 = 6
Ex: 02 Calcule o número de anagramas da palavra LAPIS
P5 = 5!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Ou
5
x 4 x 3 x 2 x 1 =
120
Ex: 03 Qual o
número de anagramas que começam com a letra D formados pela palavra DILEMA
P5 =
5! =
5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
120
Ou
D x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
120
Ex:
04 Qual o número de anagramas que
começam com a letra D e terminam com a letra A da palavra DILEMA
P4 = 4!
= 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Ou
D x 4 x 3 x 2 x 1 x A = 24
Ex: 05 Qual o número de anagramas que começam com vogal da
palavra DILEMA
3 x P5 = 3 x 5! = 3 ( 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ) =
360 ou
3
vogais A,E,I x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 360
Ex: 06- Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos
modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular para
realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Pn – 1 = (
n- 1)) !
P4 -1 = ( 4 – 1 ) ! = 3 ! = 3 x 2 x 1 = 6
ou
3 x 2 x 1 = 6
04- ARRANJO SIMPLES
Arranjos são agrupamentos
nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença.
Ex: {1, 2 e 3}
312, 321,
132, 123, 213,
231
a ordem faz números diferentes
FORMULA An,p = n!
( n – p
) !
onde:
A = arranjo
n = total de elementos
p = total de agrupamentos possíveis
Ex: 01- A5,2 = 5! = 5 x 4 x 3! = 20
( 5 –
2 ) ! 3!
Ex: 02-
Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar
com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?
A 20,5 = 20!
= 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15! = 1.860.480
( 20 – 5 ) ! 15 !
05- COMBINAÇÃO SIMPLES
a ordem dos elementos no agrupamento não interfere.
FORMULA Cn,p = n!
P! ( n – p ) !
onde :
C = combinação
n = total de elementos
p = total de agrupamentos
possíveis
Ex: 01- C5,2 = 5 ! = 5 ! = 5 x 4 x 3 ! = 20 = 10
2! ( 5
– 2 ) ! 2 ! 3 ! 2 ! 3 ! 2
Ex: 02- Em um curso de língua estrangeira estudam
trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para
realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser
formadas?
C30,3 = 30 ! = 30 !
= 30
x 29 x 28 x 27! = 24.360
= 4.060
3! ( 30 – 3 ) ! 3 ! 27 ! 3 x 2 x 1 x 27! 6
Ex: 03 - Com 12
bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em
saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco?
C12,4 = 12 ! = 12 !
= 12 x 11 x 10 x 9 x 8! = 11.880
= 495
4! ( 12 – 4 ) ! 4 !
8 ! 4 x 3 x 2 x 1 x 8!
24
06 -
PROBABILIDADE
A probabilidade de um evento é dado
pelo quociente da divisão do número de casos favoráveis pelo número de casos
possíveis.
FORMULA P ( A ) =
n ( E )
n ( S )
onde:
P ( A ) = probabilidade do
EVENTO
n ( E ) = número de
elementos do EVENTO
n ( S ) = número de
elemento do ESPAÇO
AMOSTRAL
Ex 01 – Num lançamento de um dado qual a
probabilidade de obter um número primo.
Dados: P ( A )= 3 = 1
n ( E ) = 3 { 2,3,5 } 6 2
n ( S ) = 6 { 1,2,3,4,5,6 }
Ex 02 - Uma urna contém 10 bolas brancas, 8 vermelhas
e 6 pretas, todas iguais e indistinguíveis, ao tato, retirando uma bola ao
acaso, qual a probabilidade de ela ser
preta.
Dados : P ( A )= 6 = 1
n ( E ) = 6
24 4
n ( S ) = 24
Ex 03 – um baralho de 12 cartas tem 4
ases. Retira-se 2 cartas, uma após outra. Determine a probabilidade de a segunda carta ser um ás. Sabendo que a
primeira é um ás.
Dados: P ( A )= 3
n ( E ) = 4 – 1 = 3 11
n ( S ) = 12 – 1 = 11
EXERCICIO
1- Qual o número de anagramas que podemos
formar com a palavra PATO
a) 12
b) 8 Pn =
n! 4! = 4.3.2.1 = 24
c) 16
d) 24
2- Quantos
anagramas que começam com vogal podem ser formado da palavra LIVRO
a) 120
b) 48 2. Pn =
2.n! 2. 4! = 2. ( 4.3.2.1 ) = 48
c) 24
d) 6
3- De Quantas maneiras 6 pessoas podem se
sentar em 6 cadeiras em fila.
a) 720
b) 120 Pn = n! 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
c) 36
d) 12
4- Quantos números diferentes podemos formar
com os algarismos
2, 3,
7, 8 e 9
a) 260
b) 210 Pn = n! 5! = 5.4.3.2.1 = 120
c) 120
d) 60
5- Qual o número de anagramas formados com as
letras da palavra REPÚBLICA , nos quais as vogais se mantenha nas respectivas
posições.
a) 40.320
b) 360 Pn = n! 5! = 5.4.3.2.1 = 120
c) 120
d) 12
6- cespe 2009 - Um teste para os alunos de determinada sala de uma escola é composto de 8 itens,
que deverão ser julgados, individualmente, como CERTOS ou ERRADOS. Nesse caso,
excluindo-se as possibilidades de todos os itens estarem CERTOS ou de todos
estarem ERRADOS, a quantidade de possíveis gabaritos para esse teste é igual a
A 254.
B
128. ( 2 x 2 x 2
x 2 x 2
x 2 x 2
x 2 ) - 2 = 254
C
64. ou
D
26. 2 8 - 2 =
254
7- cespe 2009 Cada um dos 5 alunos de um grupo terá 10
minutos para expor acerca do clima de um continente. O primeiro falará sobre o
clima no continente americano, o segundo, no africano, o terceiro, no asiático,
o quarto falará sobre o clima no continente europeu, e o último, na Oceania.
Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas que o grupo poderá se organizar
para fazer a exposição será igual a
A
5.
Pn = n! 5! = 5,4,3,2,1 =
120
B
24.
ou
C 120. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =
120
D
3.125
8-cespe-
5
crianças desejam brincar de roda. De quantos modos distintos estas crianças
podem formar a roda sem que haja repetição?
a)
120 obs; permutação circular Pn – 1 = ( n- 1)) !
b)
60 P(5) = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24
c) 24 ou
d)
12 4 . 3 . 2 . 1 = 24
9- cespe- Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos
distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para
realizar uma experiência sem que haja repetição das posições?
a)
1010 obs; permutação circular Pn – 1 = ( n- 1)) !
b) 9 10 P(10) = (10-1)! = 9! = 362.880
c) 360.880 ou
d) 1000 9 . 8
. 7 . 6 . 5
. 4 . 3 . 2
. 1 =
362.880
10-
cespe 2009 - Um professor propôs
dividir sua turma em 7 grupos de alunos; os elementos de um dos grupos ficariam
no centro de uma circunferência, e os demais grupos, posicionados em 6 locais
bem determinados sobre a circunferência, teriam a incumbência de questionar os
elementos do grupo do centro a respeito de um assunto pré agendado. A figura
abaixo ilustra a posição dos 7 grupos.
@ @
@ @ @
@ @
Nesse caso, a quantidade de formas possíveis e
distintas de se organizar os grupos dos questionadores e questionados será
igual
a
A
5.040. obs; permutação circular Pn – 1 = ( n- 1)) !
B 840. 7. Pn – 1 = 7( n – 1 ) !
C
720.
= 7( 6 – 1 ) !
D
120.
= 7. ( 5 ) !
= 7. ( 5.4.3.2.1 ) = 840
11- Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados
com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6
a) 27
An,p = n!
( n
– p ) !
b) 81
A6,3 = 6
! = 120
c) 120 ( 6 – 3 ) !
d) 387.420.498
12- cespe – De
quantas maneiras distintas podemos classificar os 6 primeiros colocados numa
corrida de bicicleta disputada por 10 ciclistas
a) 60 An,p = n!
( n – p ) !
b) 120
A10,6 = 10 !
= 151.200
c) 120.000 ( 10 – 6 ) !
d)
151.200
13- cespe – Num grande
premio de formula 1. Participaram 20 pilotos e somente os 6 primeiros
marcaram pontos. Quantas são as possibilidades de classificação
a) 120 An,p = n!
( n – p ) !
b) 20! / 6! A20,6 = 20 !
= 20 !
c) 20! / 14! ( 20 – 6 ) ! 14 !
d) 720
14- cespe- Com 10 espécie de frutas, quantos tipos de
saladas contendo 6 especies diferentes, podem ser feitas.
a) 60
Cn,p = n!
P! ( n – p ) !
b) 120
c) 210 C10,6 = 10 ! = 210
d) 1.220 6! ( 10 – 6 )
!
15- cespe – Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos
grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos formar
a) 200 C5,2 . C6,3 = 5 ! x 6 !
= 200
b) 180 2! ( 5 – 2 )
! 3! ( 6 – 3 ) !
c) 30
d)
6
16- cespe – Quantas comissões de 5 membros podemos formar
numa assembleia de 12 participantes
a) 60
Cn,p = n!
P! ( n – p )
b) 120
c) 720
C12,5 = 12 !
= 792
d) 792 5! ( 12 – 5 ) !
17- cespe – Quantos triângulos distintos podemos traçar tendo
como vértices 6 pontos equidistantes de
uma circunferência
a) 18
Cn,p = n!
P! ( n – p )
b) 20 C6,3 = 6 ! = 20
c) 720 3! ( 6 – 3 ) !
d) 1440
18- cespe – Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no
lançamento de um dado
a) 5 P ( A ) = n
( E )
n
( S )
b) 1 / 5 P( A ) = 1
c) 1 / 6 6
d) 2 / 3
19- Uma bola será retirada de uma
sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta
bola ser verde?
a) 5 / 7 P ( A ) = n
( E )
n ( S )
b) 12 / 5
c) 7 / 5 P ( A ) = 5
d) 5 / 12 12
20 – cespe - Um grupo de amigos contém 5 torcedores do São
Paulo, 4 torcedores do Flamengo, 2 torcedores do Grêmio e 1 torcedor do Bahia.
Calcule as possibilidades: Sortearmos um torcedor do Flamengo
a) 5 / 12 P ( A ) = n
( E )
n ( S )
b) 1 / 3
P ( A ) = 4 = 1
c) 1 / 2
12
3
d) 1 / 4